AL123 人文社科会员免费专区文学 2025-09-27

AI驱动下的量化策略构建（微课视频版）_江建武；季枫；梁举编著_AZW3_MOBI_EPUB_PDF_电子书（无页码）_江建武；季枫；梁举编著

内容节选

6.4 Copula法 6.4.1 Copula简介 2008年金融危机，使作为CDO风险管理模型之一的Copula声名大噪，有传言正是Copula模型对长尾风险的错误估计导致了这一危机，据传华尔街采用了错误的Copula模型——Gaussian Copula，低估了不同资产之间的尾部相关性，即认为当一个资产大幅下跌时另一个并不会跟随，使资产组合在当时出现崩溃，因此，一个重要的启示是应当重视配对组合之间的非线性相关关系和尾部相关性，而这是Copula模型所擅长的，但显然Gaussian Copula并不能捕捉尾部相关性。可这跟统计套利又有什么关系？一个重要的启示是应当重视配对组合之间的非线性相关关系和尾部相关性，而这是Copula模型所擅长的（2008年金融危机时错用的Gaussian Copula并不能捕捉尾部相关性）。绝大部分传统配对建模方法会假设资产价格或收益率服从假定的统计分布。例如，一般会假设单一资产的价格或收益率服从正态分布，多个资产符合多元正态分布，但是，通常这种分布的假设会存在以下问题：即使单个资产的边际分布服从正态分布，也并不意味着两个资产的价格一起会服从二元正态分布；二元正态分布有很多假设条件，很多并不符合现实。例如两个资产之间的相关性是线性的，没有尾部依赖（尾部风险发生的概率极低），分布是对称的（价格上行和下行的可能性是一样的）。但在真实的市场中，我们会观察到在价格波动较大、大幅上涨或者下跌的情况下，股票之间的相关性会比在平稳市场中更高。特别是在市场恐慌时，相关性会进一步增加。一些股票可能在平稳行情中相关性不高，但一旦出现重大消息导致大涨或大跌时，它们会表现出更高的相关性。这种尾部依赖问题无法被传统方法所捕捉，但可以通过Copula函数很好地得到解决。同时在混沌的金融市场中，即便有基本面关联的任意两个标的间的关系也是相当复杂的，不仅只有线性那么简单。如果只是采用协整等线性模型，则只考虑线性相关性，可能会遗漏必要的交易信号，甚至带来损失，而Copula模型，因其在捕捉非线性关系上的能力，可作为相当拥挤的线性模型的另类选择。 6.4.2 Copula的理论概述 Copula函数被称为连接函数，顾名思义其连接功能体现在能将两条边缘分布连接成为联合分布，而在求得联合分布后便能得出条件分布，从而确定当资产1在某一价格时资产2的合理定价区间，进而确定配对交易的阈值区间。这时可能就有读者要问，得知两个资产各自的边缘分布后（也就是单一资产的收益率分布），为什么还要用一个Copula函数去求解联合分布呢？难道联合分布不能被唯一确定吗？下面我们将用一个简单的小实验进行解释。假设存在X1=[x1，y1]，X2=[x2，y2]：前者X1符合均值mean=[0，0]协方差矩阵cov=[[1，0.8]，[0.8，1]]的二元正态分布；后者X2符合均值mean=[0，0]，协方差矩阵cov=[[1，0]，[0，1]]的二元正态分布，两者的唯一区别只在于σx，y在这里面也是相关系数ρx，y是否为0（换言之子变量x和y之间是否线性相关）。生成X11的分布等高线图及对应的分量边缘分布，代码如下： X1的边缘分布等高线如图6-17所示。图6-17 X1的边缘分布等高线生成X2的分布等高线图及对应的分量边缘分布，代码如下： X2的边缘分布等高线如图6-18所示。图6-18 X2的边缘分布等高线从图6-17和图6-18可以直观地看到X1由于分量间的相关关系，概率密度等高线图呈现出从左下到右上的椭圆形，而X2由于分量间的独立分布，概率密度等高线图则是十分对称的圆形。可以看到，尽管有如此不同的联合分布，如果只是观察各个分量的边缘分布，则两图一模一样，均服从μ=0，σ=1的一元高斯分布。这启示对于给定的边缘分布，分量间不同的相关关系将带来不同的联合分布。对于上述情形是在已知联合分布的前提下进行验证的，但在实战中我们并不知道联合分布，只能去“估计”联合分布，这时Copula函数的一大作用便是将给定的边缘分布函数，根据一定相关关系条件，估计整体的联合分布。 Copula理论定理表明，若n维联合分布函数F（x1，x2，…，xn）的边缘分布函数连续，分别为F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn），则存在唯一的Copula函数C，使而若F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn）不连续，则这样的Copula函数存在，但不一定唯一，而在F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn）的值域上Copula唯一。值得指出的是这里的分布函数F或是Fi，不同于概率密度函数，随着xi的增长在[0，1]区间单调递增；由此可以看出，Copula函数是作用在边缘分布函数上的，自变量取值范围为[0，1]，是边缘分布函数的分布函数，并以此“调节”变量间的相关关......